Teoremă: Nu există o singură mulţime vidă, ci o infinitate de mulţimi vide echipotente.
Vidul este a ceva: cangurii de pe Lună înseamnă o mulţime vidă, la fel ca şi cangurii din Europa medievală. Dar canguri ar fi putut trăi în Europa medievală (nu există nici un impediment fizic sau biologic pentru asta), însă nu şi pe Lună. În plus, vidul e localizabil. Vidul din interiorul galaxiei Calea Lactee sau oricare alta este diferit de vidul din afara galaxiei sau de oriunde altundeva prin aceea că el are o poziţie. Deşi el nu este, are un set infinit de caracteristici (loc, formă, finitudine, întindere, densitate şi altele care pot fi imaginate), inclusiv caracteristici negative (nu are elemente, nu are margini, nu are materie, nu are energie, nu are limită etc.). Un vid nu este aşadar acelaşi cu un alt vid, chiar dacă este transpozabil. Mai mult, în fizică avem grade de comparaţie între formele vidului, întrucât avem viduri mai mari decât altele – orice ar însemna asta (mai întins, mai dens etc).
Nu doar aspectele fizice ale vidului exprimă multiplicitatea sa, ci şi aspectele pur formale. Astfel, întrucât mulţimea cangurilor din Europa de azi cuprinde mulţimea vidă a cangurilor care trăiesc în libertate şi mulţimea finită nenulă a cangurilor din grădinile zoologice europene, mulţimea vidă a cangurilor care trăiesc în libertate în Europa este diferită de mulţimea cangurilor care trăiesc în libertate în Antarctica, atât prin localizare (ca topos algebric, ca învecinare cu o mulţime afină), cât şi prin întinderea mulţimii, dar, întâi de toate, prin mulţimea de completitudine faţă de care joacă rol neutru.
Georg Cantor a stabilit multe dintre accepţiunile algebrice ale vidului de uz contemporan. Totuşi, preocupat fiind de infinit, nu de vid, Cantor a distins specii de infinit, dar a postulat că mulţimea vidă este una singură. Pentru uzul său, o asemenea teoremă este suficientă, în problemă aflându-se cardinalitatea mulţimilor (numărul de elemente), nu calitatea/ identitatea/ proprietatea mulţimilor. Pe urmele lui Cantor, ţinta fiind în continuare teoria numerelor şi numerele transfinite, a fost stabilită o algebră a vidului funcţională, cu o gamă completă de operaţii. Întrucât aceste calităţi operatorii se bazează exclusiv pe cardinalitate, nu pe topologie sau alte varii proprietăţi, algebra strictă a mulţimii vide nu poate fi afectată radical prin schimbarea de paradigmă şi contestarea unicităţii mulţimii vide.
Specierea vidului în gândirea formală deschide însă calea completării operaţionale a unei zone de frontieră a gândirii şi a calculului abstract, în măsura în care se vor obţine reguli combinatorii similare algebrei infinitului. Pentru aceasta este nevoie să fie stabilite proprietăţile utile şi necesare pentru evidenţa şi determinarea asemănărilor şi diferenţelor dintre diferitele mulţimi vide.
Unul dintre primele semnale asupra diferitelor mulţimi vide în epoca post-hilbertiană a apărut în sfera logicii. Citat de David Darling în The Universal Book of Mathematics, Raymond Smullyan a propus un paradox semantic conform căruia „Un sandwich cu şuncă e mai bun decât fericirea veşnică“, fapt rezultat din silogismul „Nimic nu e mai bun decât fericirea veşnică. Un sandwich cu şuncă e mai bun decât nimic“.
Soluţia paradoxului nu poate să nu ţină cont că – la fel ca şi în matematica infinitului înainte de Cantor – avem aici un nimic mic şi un nimic mare, respectiv două mulţimi vide cu întinderi diferite, primul „nimic“ fiind un „set de seturi“ („clasă de clase“, într-un limbaj mai vechi), în timp ce al doilea „nimic“ este un individual. Smullyan, aflăm tot de la Darling, este un matematician, logician, creator de puzzle şi mag. Dar, chiar dacă era semnalat de Aristotel, paradoxul nu ar fi avut o valoare mai mare de adevăr.
În prezentarea pe care o face „setului nul“ sau mulţimii vide, D. Darling precizează că aceasta nu este egală cu zero, întrucât zero este un număr, un element al mulţimii numerelor. Zero este doar cardinalul acestei mulţimi. Darling însă distinge şi între mulţimea vidă şi „nimic“, fără a face vreo precizare în virtutea cărui principiu matematic şi, mai ales, care ar fi constructul matematic (în cazul valabilităţii unei asemenea distincţii) care ar exprima „nimicul“. Darling îşi ilustrează aserţiunea cu exemple ale „setului nul“, în accepţiunea sa nejustificat de strictă: „este mulţimea tuturor triunghiurilor cu patru laturi, al tuturor numerelor mai mari de nouă, dar mai mici de opt şi mulţimea tuturor mişcărilor de deschidere cu regele într-o partidă de şah“.
Este aşadar vidul, în mod exclusiv, o sincopă semantică, o violare a regulilor operaţionale, oricare ar fi sistemul formal în care se produce (logica, algebra, jocurile)? Este vidul un non-sens? Sau îngrădirea vidului în paradox este aceeaşi frică de formalizare a informalului de care Cantor însuşi s-a lovit? Spaima de vid poate nu a murit complet în Evul Mediu.
Mulţimile vide potenţial nevide au fost accidental sesizate în studiul teoretic al teoriei mulţimilor, dar au fost privite ca o curiozitate sau ca un corolar filosofic al unei probleme strict matematice. Pagina în franceză dedicată mulţimii vide în Wikipedia notează problema sacului gol, care este totuşi un sac de ceva. Mulţimile vide potenţial nevide sunt evidente, de pildă, în cazurile care presupun transformări. Sacul gol a fost, potenţial, negol. Mulţimea golurilor dintr-un meci Real-Barcelona este o mulţime vidă la ora începerii meciului, dar potenţial nevidă la finalul lui. Însă chiar şi într-un ipotetic univers static, complet imobil, putem identifica mulţimi vide potenţial nevide, precum o cutie goală de chibrituri sau o ladă de mere fără mere în ea. În lumea fizică: mulţimea sateliţilor unei planete dintr-un sistem solar îndepărtat. Asemenea mulţimi vide includ fie o „pată oarbă“ în cunoaştere, fie o transformare regresivă sau progresivă a existentului, fie au ca sursă o clasificare sau o convenţie. Exemplu: neclasarea ca sateliţi ai unei planete a unor asteroizi care au fie dimensiuni prea mici, fie orbite instabile.
În limbajul formal, un exemplu de mulţime potenţial nevidă este chiar mulţimea vidă care apare în axioma infinitului din teoria Zermelo-Fraenkel. În această teoremă, mulţimea vidă poate fi înlocuită, cum s-a arătat, cu un cuantificator care exprimă calitatea vidă. Totodată, liniaritatea definirii succesorilor permite ca mulţimea vidă să fie înlocuită cu o mulţime populată, în acest caz întregul şir de succesori cunoscând o alunecare spre infinit, în timp ce originea alunecă spre un nou vid. Rămâne de văzut dacă acest nou vid este acelaşi vid.
Paralel cu mulţimile vide potenţial nevide, avem mulţimile nevide potenţial vide. Un exemplu valabil în universuri dinamice: resursele de petrol. (De fapt, orice se poate epuiza.) Într-un univers static o mulţime vidă se poate obţine prin scădere dintr-o mulţime nevidă, de la care va păstra proprietăţi. Exemplu: mulţimea numerelor naturale de la 1 la 9 include mulţimea numerelor naturale de la 1 la 9 minus o mulţime vidă de numere naturale. Similar, mulţimea numerelor de la 1 la 9 include o mulţime „dominantă“ a numerelor de la 1 la 6 şi o mulţime „dominată“, a numerelor de la 7 la 9. Aceasta din urmă (ca foarte multe alte mulţimi) este nevidă, dar potenţial vidă.
O descriere a mulţimilor vide poate fi extrasă din problema „Marele hotel al lui Hilbert“ în care infinitul se obţine prin extensia infinită a unei serii finite. Respectiv, în hotelul lui Hilbert, cel mai recent venit este cazat în camera 1, vechiul locatar fiind mutat în camera 2 şi aşa mai departe spre infinit, procesul fiind reluat ori de câte ori apar nou veniţi, fie individual, fie în grupuri. Ulterior (aici intervine contribuţia proprie la vechea problemă), vidul în hotelul lui Hilbert poate fi obţinut prin plecarea aleatorie a turiştilor. Astfel, vidul obţinut prin golirea camerei 3 nu este similar cu cel obţinut prin plecarea turistului de la 122 sau a turiştilor de la camerele 166-199, întrucât la camera 3 vidul are o durată mai mică, camera fiind reocupată la primul turist nou venit (prin „alunecarea“ clienţilor din camerele 1 şi 2). Formalizat, întrucât avem o generatoare a şirului (camera 1), „durata“ vidului va fi exprimată prin distanţa dintre vid şi generator, respectiv 3-1 este mai mic decât 122-1. Într-o formulă mai complexă, distanţa poate fi considerată ca rază într-o proiecţie polară (rezultă astfel un cuantificator de poziţie topologică, valabil numai în cazul sistemelor ordonate care au o origine).
În al doilea rând, vidul de la 3 şi de la 122 are o „întindere“ mai mică decât cel din intervalul 166-199 (respectiv 1, faţă de 33). Obţinem astfel un alt cuantificator topografic al vidului care îl corelează cu mulţimile nonvide adiacente, reprezentând distanţa dintre aceste mulţimi. Spre deosebire de primul cuantificator, care este polar, cel de al doilea este liniar. În plus, acesta nu presupune nici ordine, nici origine, cu menţiunea că, în cazul în care mulţimile finite adiacente nu au regulă scalară comună, distanţa se poate doar constata, însă nu se poate măsura. Mulţimea vidă este scalară (are pseudo-cardinalitate) numai dacă ambii vecini sunt co-scalari.
Însă, într-o altă măsură, cele trei forme de vid sunt similare între ele şi diferite de alte mulţimi vide. Dacă stabilim predicatul că mulţimea turiştilor care dorm pe hol este vidă, mulţimea turiştilor care dorm în camerele goale este tot vidă, dar diferită de prima prin aceea că turiştii pot dormi în camere, dar nu pot dormi pe hol. Astfel, întrucât camerele au un parametru comun, ele pot fi însumate în virtutea acestuia, dar nu pot fi însumate cu un vid care nu are acel parametru. Formal, aici vorbim despre calitatea sau proprietăţile vidului. Aceste calităţi se pot exprima atât pozitiv, cât şi negativ. Ca expresie negativă, în exemplul de mai sus, cu mulţimea numerelor naturale de la 1 la 9, mulţimea vidă în cauză se va defini ca mulţimea numerelor naturale de la 1 la 9 care nu sunt chiar numerele naturale de la 1 la 9; sau mulţimea numerelor naturale de la 1 la 9 care nu sunt mai mari sau egale cu 1 şi nici mai mici sau egale cu 9. Chiar şi golită de elemente, mulţimea va păstra calitatea de număr natural şi, de asemenea, topografia liniară şi pe cea polară. În acelaşi exemplu, atunci când am mutat limita submulţimilor mulţimii cadru de la 9 la 6, submulţimea vidă a putut fi populată cu numerele 7, 8 şi 9 care respectă proprietăţile vizate, dar n-ar fi putut fi populată cu radical din 49, care nu este număr natural, sau cu 11, care este în afara limitei, aceste numere contravenind regulilor postulate pentru formarea mulţimii. La limită, tot o problemă de calitate a vidului este şi exemplul din paradoxul sandwichului, în care mulţimile vide comparate au parametri/ reguli sintactice diferiţi/ te.
Numit „haos“ de greci şi bază a abstracţiei numărului 0 în filosofia indiană, vidul a exercitat o atracţie filosofică majoră în vechile secole. A fost demonizat pe alocuri, în alte sisteme de gândire i s-a construit o poziţie cardinală. A ocupat, în istoria culturii, un loc cel puţin la fel de însemnat ca infinitul. Totuşi, aritmetica modernă, mulţumindu-se cu 0-ul instrumentalizat, nu mai este sensibilă la natura şi potenţialul gnoselogic al vidului în sine.